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数学:かくも美しい人類の英智!何故こんなことを思いつくのか?

2021/09/05
 
数式
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Fibonacci
フィボナッチ数列

フィールズ賞

数学界で最高の権威とされる賞。4年に1度開催される国際数学者会議(ICM:International Congress of Mathematicians)が特に優れた業績を上げた40歳以下の数学者に授与する。日本人受賞者はこれまでに3人のみ。

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詳しくはジャパンナレッジへ→ https://japanknowledge.com/introduction/keyword.html?i=534

Google

語源はグーゴル。1に0が100個続く数のこと。アメリカ人の数学者エドワード・カスナーが甥と散歩中、100個ゼロがつく数の名前をつけるよう言ったところ9歳のミルトンが「googol」と応えた。1990年代半ば、スタンフォードの大学院生ブリンとペイジは自分たちの新しいウェブ検索サービスの会社名をグーゴルにしようとしたが、綴りを間違えてgoogleとしてしまった。その間違えたままで社名とし1998年設立した。本社はサンフランシスコにあり、グーグルプレックスと呼ばれている。データセンターには15エクサバイト(260)もの情報が保管されている。

対数

ギリシャの天文学者ヒッパルコスは1,000個の星の位置や明るさを観測、最も明るい星を1等星、肉眼で辛うじて見える星を6等星と分類した。この等級は星から受ける光の強さの対数になっている。1830年頃ハーシェルは「等級が1違うと明るさが約2.5倍になる」ことを発見した。1856年ポグソンが「1等星は6等星の100倍明るい」、「1等級違うと明るさは約2.5倍(正確には100の5乗根≓2.1)違う」と定式化した。これを実視等級という。

円周率(π)

円周÷直径≓3.1462・・・ 円周=(2r)×π=にπRr

球の表面積

表面積=4πr2

球の体積

体積=1/3×4πr2×r=4/3πr3

deg(degree)

1周360°とする測り方。

rad(radian)

1周を2πとする測り方。

grad(grade)

1周を400gradとする測り方。直角の1/100が1grad。

sin(正弦)

90°のとき1となる。

cos(余弦)

角度が0°のとき1となる。

tan(正接)

角度が45°のとき1となる。

有理数

分数で表せる数。

無理数

分数で表すことが無理な数。√2やπなど。

平均

相加平均、相乗平均、調和平均がある。

分位数

n個のデータを小さい順に並べ、k等分したときその境になった数値。よく使われるのは4分位数
この場合の第2四分位数は中央値となる。

偏差

データの値と平均値との差。大きなデータが多ければばらつきが大きいデータセットといえる。

外れ値

データの平均から大きく外れた値。

シックス・シグマ活動

シグマ区間の外、3.4/100万(0.0000034)のレベルにミスや欠陥品の発生率を抑えることを品質管理の目標にする活動。1980年代後半モトローラ社で始まった。

確率変数

試行して初めて結果が分かる変数。とびとびの値になるものを離散確率変数、身長や体重のようにある範囲でどんな値も取りうるものを連続確率変数という。

2項分布

失敗・成功、裏・表、男・女など、二種類しかない事象についての分布。

ベルヌーイ試行

結果が二種類しかない試行 (実験や観測などの行為)。

ポアソン分布

試行回数nがとても多く事象発生の確率pがとても少ないときの2項分布。ひと月の生産に対しての不良品、交差点での事故数、特定の地域に落ちる雷など、極めて稀にしか起きない事柄の確率分布を表す。
ある程度の時間軸では一定の頻度で起きるものの分布。ゼロにはできないもの。

フィッシャーのz変換

逆双曲線正接関数を使用する。

自然対数

割り切れないネイピア数eを底とした対数。指数関数の逆関数。

魔方陣

縦、横、斜めのどれを足しても同じ数になる。升の数をOrderまたはnで表す。nは1~n2までなので2はない。魔方円、ラテン方陣もある。

素数

1とその数でしか割りきれない数。双子素数(差が2の組み合わせ)、三つ子素数(差が2と4の組み合わせ)、いとこ素数(差が4の組み合わせ)、セクシー素数(差が6の組み合わせ)がある。331と337など。

パイ

バビロニアやエジプトの数学者や技術者は既に知っていた。バビロニアでは3と1/8、古代エジプトでは8/9を2倍して2乗した数(3.1605)としていた。
パイがわかれば円の円周、面積、球の体積、円錐の体積、円柱の体積、円柱の表面積が求められる。

冪乗(べき乗):Power

(Base)と指数(Exponent)で表される。23は底を3回掛け合わせるので8、50は1となる。2乗することを平方、3乗することを立方するという。100万を桁で表すより、1✕106とする方が見やすい。 

ロバート・レコード

1557年「知恵の砥石」という本で指数の仕組みを作った。等号(=)も作った。2乗をゼンジック、3乗をキュービック、それ以上をサーソリッドと名付けた。5乗は第一のサーソリッドとなる。6乗はゼンキュービック、16乗はゼンジゼンジゼンジゼンジークとなる。ゼンジックをz、キュービックを&とした。速記法で用いる。

フィボナッチ数列

ピサのレオナルドに因む。彼のあだ名がフィボナッチ(ボナッチの息子)。
一組のうさぎがいかに大量に繁殖していくかを説明に用いた。

階乗

その数自身とそれより小さい数をかけた数。5!=5*4*3*2*1=120となる。

十進法(decimal fraction)

少量、破片の意味。

数学

オランダ語で数学を意味する単語は「疑う余地がなく正しいとわかる」という意味。

パスカリーヌ

1642年ブレーズ・パスカルが作った電子計算機。10代の若さで必要な計算を迅速に行える機械の設計を始めた。1645年の完成までに50種類も作った。うち9点が現存している。
足し算と引き算に対応しかけ算は足し算を繰り返すことで実行できた。

ビット

二進数の単位 (binary unit) の略。4ビットはニブル、8ビットがバイト。

アルゴリズム

数学的な命令のリスト。正確な順序であれば常に正しい結論が出る。

ExcelのE

数字の入る幅が狭いため桁数の多い数を10の冪乗(指数)で表している。Eは指数(Exponent)の頭文字。
2E-08は2×10-8、0.00000002を表す。

大数の法則

平均は母集団が大きくなるほど真の値である母平均に近づく。試行回数が少ないと偏るが、試行回数が増えれば推定の精度が向上する。臨床試験も人数が少ないより多い方が確からしい(より正確)と言える。

中心極限定理

標本サイズが大きくなるほど母平均とのずれが正規分布に近づく。

非劣性試験

一定差までは劣ることを許容するが、それ以上には劣っていないことを片側検定すること。
先発品に対する後発品の品質比較など。

非劣性マージン

後発品は先発品より許容範囲だけ劣っていることを帰無仮説とし、それを片側検定で棄却、後発品は先発品より○○以上は劣っていないと対立仮説を採択する。薬の有効率では10%が一般的とされる。

最尤法(さいゆうほう)

母数推定法のひとつ。フィッシャーが考えた。尤もらしさを最大にするように切片αと傾きβの値を求める。
尤度が大きくなるほど予測値観測値に近づく。

交絡

どちらが結果に影響を与えたのかわからくなること。

ステューデント化された範囲

t分布で出て来た準標準化。最も強い検定となる最大の範囲を不偏標準誤差で割った値の分布。
F分布に似た形をしている。

ノンパラメトリック手法

t検定や分散分析でできないとき使う。帰無仮説の元での実験結果の起きる確率を間接的に計算する検定。
化学者ウィルコクソンが思いついた。

乱塊法

フィッシャーの三原則をすべて満たした実験。反復と無作為化のみを満たした実験を完全無作為化法という。

マルチコ ( Multi-collinearity )

多重共線性。説明変数間に強い関連性があること。

偏微分

記号はラウンドディーを用いる。ひとつの変数について偏微分するとき、それ以外の変数は定数として扱う。

微分

曲線の微小な部分の傾きを求める操作。

積分

曲線の表す値を寄せ合わせて面積を求める操作。

ファクトリアル

階乗のこと。!で表す。
5!=5・4・3・2・1=120    ExcelではFACT(5) と表す。

陰関数

f(x,y)=0

陽関数

 y=f(x)

初等関数

大学初年次までに学ぶ関数。

トーラス

中心が原点にある丸いドーナツ状の局面。媒介変数を用いて表される。

マクローリン展開

x=0のまわりのテイラー展開。

ダンバー数

150。1993年イギリスの人類学者ロビン・ダンバーは「互いを認識し、安定した集団を形成できる個体数はせいぜい150人」とした。世界中の村の平均住民数はほぼ150になる。ネットが普及する以前、壮年期のビジネスマンがビジネス以外で送り合う年賀状の枚数もこの程度の数だった。

補間法

データ間の任意の点xに於けるYの値を推定する方法。ラグランジュ補間法など。

フーリエ変換

音波や電磁波、地震波は振幅、周波数、位相が異なる三角関数波の組み合わせで表せる。
この与えられた波形から波の大きさ、周波数、位相を計算する。

アクティブ・ノイズ・コントロール

音は波なのでふたつの波が重なると干渉して強め合ったり弱めあったりする。
波形の正負が逆になるような (位相が180度ずれた) 音を出せば騒音がなくなる。
高級車のエンジン音、冷蔵庫の騒音、ヘッドフォンからの音漏れなどに実用化されている。

カテナリー曲線

懸垂曲線。線や糸などの両端を持って自重で撓んだときできる曲線。

クロソイド曲線

緩和曲線。一定のスピードで走る車のハンドルを一定の回転速度で回し続けた車の軌跡など。

スカラー

ベクトルでない通常の数。

単位ベクトル

大きさが1のベクトル。

ゴールシーク

セルの値が目標値と等しくなるよう未知のセルの値を検索する機能。変化させる未知数は1個のみ。

ソルバー

複数の未知数がある場合使う。

ラグランジュポイント

例えば地球と月の引力と遠心力が釣り合う点は五つある。ソルバーを用いて探索できる。

ロジスティックス曲線

生態学やカオス理論に使われる。

カルダノの公式

1の3乗根を利用する。三次方程式で解を求める。複素数の範囲で三つの解がある。

フェラーリの公式

四次方程式の解法。

確率過程

時間とともに変化する確率に支配された現象。天気の予測など。

ケーリー・ハミルトンの定理

行列のn乗を処理する。

マルコフ過程

直前の状態だけが次の状態に影響を及ぼす確率過程。

‰  (パーミル)

千分率。勾配を表すときなどに用いる。25‰なら水平距離1,000mに対し25mの割合で高くなっていることになる。世界一急な勾配の鉄道はスイスの登山鉄道で480‰、傾斜角度は26°にもなる。

バーコード

13桁の数字は左から順に国名、メーカー名、商品名、チェックディジットとなっている。日本は45か49と決められている。線の方はレフトカードバー、センターバー、ライトカードバーから成る。

FAX

通信の高速化のためハフマン符号が採用されている。圧縮方法にMHとあったらModified Huffmanのこと。
これによりA4用紙が1分程度で送れる。

暗号

情報に変換を施すこと。平文から暗号文への変換を暗号化という。

復号化

暗号文から平文に戻すこと。

微分

接線の傾きの式を求めること。関数から導関数を求めることを「微分する」という。

自然対数の底。2.718281・・・という無理数をeで表記する。

行列式(determinant)

行列による変換が面積・体積をどれ位変えるかを決定している数。

ラプラシアン

x、y、zの3方向の2階微分を足したもの。

ポアソン方程式

2階の楕円型偏微分方程式。

マクスウェルの方程式

四つの式で構成されている。∇・は湧き出し、∇×は回転ベクトルを表す。

  • 第1式:電場は電荷から湧き出す。
  • 第2式:湧き出る磁場はない。
  • 第3式:磁場が変化すると電場が発生する。フレミングの右手の法則に従って発電する。
  • 第4式:電流の周りに磁場ができ(アンペールの法則)、電場が変化すると磁場が生まれる。向きはフレミングの左手の法則に従う。

シュレージンガー方程式

粒子の波動関数。自然界の素粒子の挙動は三角関数と指数関数だけで記述できる。

ディラックのエイチ

ℏをエイチバーという。プランク定数の代わりにそれを2πで割ったエイチバーを使う。

「贋金鑑識官」

ガリレオ・ガリレイの著作。「自然という偉大な書物は、数学という言語で書かれている」とある。

ユークリッド幾何学

「2点を結ぶ直線はただひとつ引くことができる」、「平行な直線は交わることがない」を公理とする。

ユークリッドの公理

  • 任意の点とこれと異なる任意の点とを結ぶ直線を引くことができる。
  • 任意の線分はこれを両方へいくらでも延長することができる。
  • 任意の点を中心として任意の半径で円を描くことができる。
  • 直角はすべて相等しい。
  • 二直線が一直線と交わっているときその同じ側にできる内角の和が二直角より小であったなら二直線はその側へ延長すれば必ず交わる (平行線の公理)。

コンプリート・オーダー

完全順序。推移律がきちんと成立する。大小関係が常に一義的に決まる。

サイクリック・オーダー

循環順序。じゃんけんのようにコンプリート・オーダーが成り立たないもの。

可換体

四則演算ができること。足し算・引き算には結合律配分律が成り立つ。

コンティニュアス

連続。途切れることなく繋がること。

実数

推移律、四則演算が常に成り立ち、連続である性質を持つもの。あらゆる定理はこの三つの定理が導かれている。

合成の誤謬 (fallacy of composition)

ミクロの視点では正しいことでも、それが合成されたマクロの世界では、必ずしも意図しない結果が生じること。

アローの背理

個々人が良い選択をしたとしても、全体としては良い選択にならないことがある。アローズ・ジレンマ。

ケインズのジレンマ

個人を富ます貯蓄は全体を貧しくさせる。

マンデヴィルのジレンマ

個人の悪徳は全体の美徳。資本主義における市場機構。個人や法人が利益の最大化を目指し活動すると神の見えざる手 (インヴィジブル・ハンド) が作用して結果的に最大多数の最大幸福(パレート・オプティマリティ)をもたらす。

黄金比

1:1.62あるいは5:8が近似値。

白銀比

1:√2をいう。1:1.41が近似値。丸太から正方形の柱を切り出すとき現れる。
四天王寺、法隆寺、五重塔などに見られる。

円周率

ソロモン王が池を作らせる話が旧約聖書に載っている。円周は直径の三倍であると述べられている。
エジプトにおいて円周率は3.16049であった。
紀元前250年頃、アルキメデスは正96角形の周の長さを計算しπを3.14と求めた。

地球の半径

初めて求めたのは紀元前3世紀のアレクサンドリア図書館長エラトステネスだった。アレクサンドリアの南のアスワン(当時はシエネ)に夏至の正午にだけ水面まで太陽の光が届く深井戸があることを知った。

夏至の正午のアレクサンドリアの太陽高度は7.2で、アレクサンドリアとアスワンの距離は約920㎞なので、地球1周の長さは4,600㎞と結論した。この誤差は約15%で、当時の科学技術水準からは驚異的精度。
現在はアレクサンドリア~アスワンの距離が分からなくても地平線までの距離と三角比を使って地球の半径を求めることができる。

二重根号

ルートの中にルートが入っているもの。

シンプソンのパラドックス

統計上の逆転現象。1回目も2回目もAさんが高いのに合計するとBさんの方が高くなってしまうようなこと。
分母が揃っていないと錯覚を起こしやすい。

等差数列

同数ずつ増えていく数列。毎年5億円ずつ利益が伸びる予想のようなもの。減っていくのも同数ずつなら等差数列になる。

倍数判定法

ある数が何の倍数に当たるか判定する方法。偶数なら2の倍数に間違いない。位を全部足して3の倍数になれば3の倍数、9の倍数になれば9の倍数といえる。6の倍数は一の位が偶数ですべての位の和が3の倍数になる。4の倍数は下二桁が4の倍数になる。8は下三桁が000か8の倍数のとき。3桁の場合で下二桁に三桁目の二倍を足して7の倍数になれば7の倍数。

球の体積

V=4/3πR で求められる。  V=球の体積、R=半径

関連情報ではないけれど、よかったらどうぞ→ 法律:世界3大法典、法律用語、知的財産権、著作隣接権などをざっくり。

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